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 Rest0.de - Der Dezimalbruchtrainer
    
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 Um den Periodenbeginn manuell zu erfassen, müssen Sie die Periodenhilfe deaktivieren. Benötigte Zeit max
 Mit Zähler maximal, Nenner maximal und Brüche > 1 zulassen bestimmen Sie den Schwierigkeitsgrad. Zähler maximal
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Nachkommastellen
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  Primfaktor-Zerlegung und Eulersche Funktion Email: 1@rest0.de
Große Zahlen-Taschenrechner (+, -, *, /, ^, w)  
Nur Ganze Zahlen
Anzahl Ziffern
Die Berechnung für Große Zahlen basiert auf der String-Darstellung von JavaScript. Die Zahlen werden zeichenweise miteinander verglichen, es werden also immer nur 2 Ziffern als Zahlen interpretiert. Ich verwende von den JavaScript-Funktionen kein * oder /, sondern nur +, - und verschiedene String-Operationen wie + "0" für * 10. So kann die maximale Variablenlänge voll ausgeschöpft werden. Im Bereich der noch durch die Standard-Funktionen abgedeckten Zahlen (bis ca. 9*10^15) dauert die Berechnung mittels Strings zwischen 10 und 100% länger. Bei der Primfaktorzerlegung potenziert sich der Geschwindigkeitsunterschied, sodass ich sie für große Zahlen nicht implementiert habe. Mit dem Nachsatz "w" kann die auf die nächste ganze Zahl gerundete Wurzel nach dem Heron-Verfahren berechnet werden, z.B. 123456w.
 
Eulersche Funktion
Die Eulersche Funktion gibt die Anzahl der zu einer natürlichen Zahl n teilerfremden Zahlen < n an. Jeder Primfaktor wird dazu beim ersten Auftreten um eins reduziert. Die Periodenlänge eines Dezimalbruchs ist ein Teiler der Eulerschen Funktion des Nenners, entspricht also maximal dessen Eulerscher Funktion. Daher beträgt die Periodenlänge höchstens Nenner - 1. Auch ein endlicher oder gemischt periodischer Bruch kann höchstens Nenner - 1 Nachkommastellen haben, die Zahl der Nachkommastellen (Vorziffern + Periode) muss dann aber kein Teiler der Eulerschen Funktion sein. Die Anzahl der Vorziffern entspricht der höheren Potenz von 2 und 5 in der Primfaktorzerlegung des Nenners:

1/7 = 0,142857 (Periodenlänge 6), Eulersche Funktion der Primzahl 7 ist 7 - 1 = 6

3/14 = 0,2142857 (Periodenlänge 6), Eulersche Funktion von 14 = (2 - 1) * (7 - 1) = 6

Auch hier teilt die Periodenlänge die Eulersche Funktion des Nenners, die Gesamtzahl der Nachkommastellen (inkl. Vorziffern) ist aber 7 und damit größer als die Eulersche Funktion. Die Zahl der Nachkommastellen von 7 teilt hier den Nenner 14, dies ist aber nicht immer der Fall, denn:

5/8 = 0,625 hat 3 Nachkommastellen und Euler(Nenner) = (2 - 1) * 2 * 2 = 4

Bei einem gekürzten Bruch ist die Anzahl der Vorziffern und die Periodenlänge außerdem unabhängig vom Zähler.

Dezimalbrüche umwandeln
Dezimalbrüche ohne Periode lassen sich direkt in einen Bruch umwandeln, der evtl. noch gekürzt werden kann. Der Nenner ist eine Potenz von 10, wobei die Anzahl der Nullen (bzw. die Potenz) der Anzahl der Nachkommastellen des Dezimalbruchs entspricht.
123,98=12398
 100  
=6199
 50  
Für die Umwandlung periodischer Dezimalbrüche gibt es drei Möglichkeiten (die natürlich auch für Zahlen > 1 gültig sind):
1. Summe 0,45621= 456
1000
+  21
99000
= 45144 + 21
   99000    
=45165
99000
= 3011
6600
2. Produkt 0,45621=  1
1000
(456 + 21
99
) =   1
1000
*45165
  99   
= 45165
99000
=3011
6600
3. Differenz 0,45621=45621 - 456
    99000    
= 45165
99000
=3011
6600
Die 3. Möglichkeit ist besonders elegant, weil im Zähler nur die Ziffern, die vor der Periode stehen (inkl. der Ziffern vor dem Komma), von allen Ziffern abgezogen werden. Der Nenner beginnt mit so viel 9en, wie die Periode Ziffern hat, gefolgt von so viel 0en, wie die Periode Vorziffern hat.
© Klaus Bubenheimer 2014